Théorie électrique et calculs

Introduction

Ce chapitre couvre les fondements théoriques et les calculs essentiels que tout électricien industriel doit maîtriser pour l’examen Sceau rouge. La théorie électrique n’est pas un exercice académique : elle est la base de chaque diagnostic, de chaque installation et de chaque mise en service. Vous devrez appliquer ces principes pour dimensionner des conducteurs, protéger des circuits, corriger le facteur de puissance et analyser des circuits en courant alternatif (CA) et continu (CC). Les questions de l’examen portent moins sur la mémorisation de formules que sur leur application correcte dans des contextes industriels réalistes.

Lois fondamentales et unités

Le système international (SI) et les unités dérivées

Vous devez connaître les unités de base et leurs symboles, ainsi que les préfixes métriques couramment utilisés en industrie (kilo, méga, milli, micro). Les erreurs de conversion sont une cause fréquente d’échec.

Grandeur	Unité	Symbole
Tension	Volt	V
Courant	Ampère	A
Résistance	Ohm	Ω
Puissance active	Watt	W
Puissance réactive	Voltampère réactif	var
Puissance apparente	Voltampère	VA
Fréquence	Hertz	Hz
Énergie	Joule ou wattheure	J ou Wh

Préfixes à retenir : kilo (k = 10³), méga (M = 10⁶), giga (G = 10⁹), milli (m = 10⁻³), micro (µ = 10⁻⁶), nano (n = 10⁻⁹).

Loi d’Ohm et puissance en courant continu

La loi d’Ohm établit la relation entre la tension (U), le courant (I) et la résistance (R) : U = R × I. En courant continu, la puissance se calcule par P = U × I. En combinant ces deux relations, on obtient les formes dérivées :

P = I² × R

P = U² / R

Exemple : Un élément chauffant de 20 Ω est alimenté sous 240 V CC. Le courant est I = 240 / 20 = 12 A. La puissance est P = 240 × 12 = 2 880 W, soit 2,88 kW.

Lois de Kirchhoff

Deux lois fondamentales régissent l’analyse des circuits :

16.Loi des nœuds (loi des courants) : la somme algébrique des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortants. En pratique, ΣI = 0.

17.Loi des mailles (loi des tensions) : la somme algébrique des tensions autour d’une maille fermée est nulle. En pratique, ΣU = 0.

Ces lois s’appliquent aussi bien en CC qu’en CA, à condition d’utiliser des grandeurs vectorielles (phaseurs) en CA.

Circuits en série et en parallèle

Résistances en série

Dans un circuit en série, le courant est identique dans tous les éléments. La résistance totale est la somme des résistances individuelles : R_total = R₁ + R₂ + R₃ + …. La tension totale se divise proportionnellement aux résistances (diviseur de tension).

Résistances en parallèle

Dans un circuit en parallèle, la tension est identique aux bornes de chaque branche. La conductance totale (inverse de la résistance) est la somme des conductances : 1/R_total = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ + …. Pour deux résistances seulement, on utilise la formule simplifiée : R_total = (R₁ × R₂) / (R₁ + R₂).

Piège courant : Pour trois résistances ou plus, la formule du produit sur la somme ne fonctionne que pour deux résistances. Utilisez toujours la formule des inverses pour trois éléments ou plus.

Circuits mixtes

Pour un circuit mixte, simplifiez progressivement : identifiez les groupes en série et en parallèle, calculez leurs équivalents, puis combinez. Cette méthode s’applique également aux circuits avec des inductances et des condensateurs, mais en utilisant l’impédance complexe.

Courant alternatif : principes fondamentaux

Valeurs caractéristiques d’une onde sinusoïdale

En CA, la tension et le courant varient sinusoïdalement. Quatre valeurs sont essentielles :

Valeur de crête (U_max) : amplitude maximale de l’onde.

Valeur efficace (U_eff) : valeur équivalente en chauffage d’une tension continue. Pour une sinusoïde, U_eff = U_max / √2 ≈ 0,707 × U_max.

Valeur moyenne : pour une sinusoïde complète, elle est nulle. Pour une demi-alternance, elle vaut 0,637 × U_max.

Valeur crête-à-crête : différence entre le maximum positif et le maximum négatif, soit 2 × U_max.

Application industrielle : Une tension de 600 V CA efficace a une valeur de crête de 600 × √2 ≈ 848 V. Cette valeur est critique pour le choix de la tension de tenue des composants et pour les calculs d’isolation.

Période et fréquence

La fréquence (f) est le nombre de cycles par seconde, en hertz (Hz). La période (T) est l’inverse de la fréquence : T = 1/f. Au Canada, la fréquence standard est de 60 Hz, donc T = 1/60 ≈ 16,67 ms.

Phase et déphasage

Le déphasage (φ) est l’angle entre la tension et le courant dans un circuit. Il est exprimé en degrés ou en radians. Un déphasage nul signifie que tension et courant sont en phase (charge purement résistive). Un déphasage de +90° indique une charge purement inductive (le courant est en retard sur la tension). Un déphasage de -90° indique une charge purement capacitive (le courant est en avance sur la tension).

Impédance et circuits RLC

Définition de l’impédance

L’impédance (Z) est l’opposition totale au passage du courant alternatif dans un circuit. Elle combine la résistance (R), la réactance inductive (X_L) et la réactance capacitive (X_C). Elle se mesure en ohms (Ω) et se représente comme un nombre complexe : Z = R + j(X_L - X_C).

Réactances

Réactance inductive : X_L = 2πfL, où L est l’inductance en henrys (H). Elle augmente avec la fréquence.

Réactance capacitive : X_C = 1 / (2πfC), où C est la capacitance en farads (F). Elle diminue avec la fréquence.

Calcul de l’impédance totale

Pour un circuit RLC en série, l’impédance totale est : Z = √(R² + (X_L - X_C)²). L’angle de phase est : φ = arctan((X_L - X_C) / R).

Exemple : Un circuit série contient R = 30 Ω, L = 0,1 H et C = 50 µF, alimenté à 60 Hz.

X_L = 2π × 60 × 0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1 / (2π × 60 × 50 × 10⁻⁶) = 53,1 Ω

Z = √(30² + (37,7 - 53,1)²) = √(900 + 237,2) = √1137,2 ≈ 33,7 Ω

φ = arctan((37,7 - 53,1) / 30) = arctan(-0,513) ≈ -27,2° (le courant est en avance sur la tension, circuit à dominante capacitive)

Résonance

La résonance se produit lorsque X_L = X_C, donc lorsque f_r = 1 / (2π√(LC)). À la résonance, l’impédance est minimale (égale à R) en série, et le courant est maximal. En parallèle, l’impédance est maximale. Ce phénomène est utilisé dans les circuits de filtrage et les compensateurs de puissance réactive.

Puissance en courant alternatif

Les trois puissances

En CA, on distingue trois puissances :

57.Puissance active (P) : mesurée en watts (W), c’est la puissance réellement convertie en travail ou en chaleur. P = U × I × cos φ.

58.Puissance réactive (Q) : mesurée en voltampères réactifs (var), elle est échangée entre la source et les éléments inductifs/capacitifs. Q = U × I × sin φ.

59.Puissance apparente (S) : mesurée en voltampères (VA), c’est le produit de la tension et du courant sans tenir compte du déphasage. S = U × I.

La relation entre ces trois puissances est : S² = P² + Q², soit S = √(P² + Q²).

Facteur de puissance

Le facteur de puissance (FP) est le rapport entre la puissance active et la puissance apparente : FP = P / S = cos φ. Un facteur de puissance unitaire (1,0) indique une utilisation parfaite de l’énergie. Un FP faible (par exemple 0,7) signifie que le courant est plus élevé que nécessaire pour la puissance utile, ce qui entraîne des pertes dans les conducteurs et des pénalités financières.

Exemple industriel : Un moteur de 50 kW fonctionne avec un FP de 0,75 sous 600 V. Le courant est I = P / (U × FP) = 50 000 / (600 × 0,75) = 111,1 A. Si le FP est corrigé à 0,95, le courant devient I = 50 000 / (600 × 0,95) = 87,7 A. La réduction du courant est de 21 %.

Correction du facteur de puissance

La correction se fait en installant des condensateurs en parallèle avec la charge. La puissance réactive capacitive (Q_C) nécessaire est : Q_C = P × (tan φ₁ - tan φ₂), où φ₁ est l’angle initial et φ₂ l’angle cible. La capacitance requise est : C = Q_C / (2πfU²).

Exemple : Une installation consomme 100 kW avec un FP de 0,70. On veut corriger à 0,95.

φ₁ = arccos(0,70) = 45,57°, tan φ₁ = 1,02

φ₂ = arccos(0,95) = 18,19°, tan φ₂ = 0,33

Q_C = 100 000 × (1,02 - 0,33) = 69 000 var = 69 kvar

Sous 600 V et 60 Hz, la capacitance est C = 69 000 / (2π × 60 × 600²) = 69 000 / 135 716 800 ≈ 508 µF.

Circuits triphasés

Principes de base

Un système triphasé comporte trois tensions sinusoïdales décalées de 120° entre elles. Il existe deux configurations : étoile (Y) et triangle (Δ) .

Relations tension-courant

Configuration	Tension phase-phase (U_LL)	Tension phase-neutre (U_LN)	Courant de ligne (I_L)	Courant de phase (I_Ph)
Étoile (Y)	U_LL = √3 × U_LN	U_LN = U_LL / √3	I_L = I_Ph	I_Ph = I_L
Triangle (Δ)	U_LL = U_Ph	U_Ph = U_LL	I_L = √3 × I_Ph	I_Ph = I_L / √3

Valeurs à mémoriser : √3 ≈ 1,732 et 1/√3 ≈ 0,577.

Exemple : Un système 600 V triphasé en étoile a une tension phase-neutre de 600 / √3 ≈ 346 V. Un système 208 V triphasé a une tension phase-neutre de 120 V.

Puissance en triphasé

La puissance active totale est : P = √3 × U_LL × I_L × cos φ. La puissance apparente est : S = √3 × U_LL × I_L. La puissance réactive est : Q = √3 × U_LL × I_L × sin φ.

Exemple : Un moteur triphasé de 25 kW, 600 V, FP = 0,85. Le courant de ligne est I_L = P / (√3 × U × FP) = 25 000 / (1,732 × 600 × 0,85) = 25 000 / 883,3 ≈ 28,3 A.

Charges déséquilibrées

En pratique, les charges triphasées ne sont pas toujours parfaitement équilibrées. Le courant dans le neutre d’un système en étoile est la somme vectorielle des trois courants de phase. Pour des charges déséquilibrées, le courant de neutre peut être significatif. Le calcul exact nécessite l’analyse vectorielle, mais une approximation courante pour l’examen est de considérer le pire cas où le neutre porte presque le courant de la phase la plus chargée.

Calculs de chute de tension

Formule générale

La chute de tension (ΔU) dans un conducteur est causée par sa résistance et sa réactance. Pour un circuit monophasé : ΔU = 2 × I × L × (R_cos φ + X_sin φ), où L est la longueur aller-retour en mètres, R et X sont la résistance et la réactance du conducteur par mètre. Pour un circuit triphasé : ΔU = √3 × I × L × (R_cos φ + X_sin φ).

En pratique, pour des conducteurs de section modérée, on néglige souvent la réactance et on utilise : ΔU = 2 × I × L × R (monophasé) ou ΔU = √3 × I × L × R (triphasé).

Exigences du Code

Le Code canadien de l’électricité, Chapitre V (CEC) recommande que la chute de tension ne dépasse pas 3 % pour les circuits d’utilisation et 5 % au total (branchement + circuit d’utilisation). Ces valeurs sont des recommandations, sauf si elles sont rendues obligatoires par l’autorité compétente. La règle 8-200 du CEC traite du calcul des sections de conducteurs en fonction de la chute de tension.

Exemple : Un moteur de 10 kW, 600 V triphasé, FP = 0,85, est alimenté par un câble de 75 m. Le courant est I = 10 000 / (1,732 × 600 × 0,85) = 11,3 A. La chute de tension maximale permise est 3 % de 600 V = 18 V. La résistance maximale du conducteur est R = ΔU / (√3 × I × L) = 18 / (1,732 × 11,3 × 75) = 18 / 1468 ≈ 0,0123 Ω/m. En consultant les tableaux du CEC, on choisit la section appropriée.

Tableau des résistances approximatives (conducteurs de cuivre à 75 °C)

Section (mm²)	Résistance (Ω/km)
2,5	9,42
4,0	5,90
6,0	3,94
10,0	2,37
16,0	1,48
25,0	0,943
35,0	0,674
50,0	0,471

Protection des circuits et dimensionnement

Courant nominal et courant de pleine charge

Le courant nominal d’un moteur est indiqué sur sa plaque signalétique. Le courant de pleine charge (CPC) peut être estimé à partir des tableaux du CEC (annexe B) pour les moteurs standard. Ces tableaux donnent des valeurs types en fonction de la puissance et de la tension.

Règles de protection contre les surintensités

Le CEC, Chapitre V, règle 28-200, spécifie que les protecteurs de circuit de branche pour moteurs doivent être dimensionnés à 125 % du courant de pleine charge pour les moteurs à service continu. Les protecteurs contre les surcharges (relais thermiques) sont réglés entre 115 % et 125 % du courant nominal, selon le facteur de service du moteur.

Exemple : Un moteur de 20 A à service continu nécessite un protecteur de circuit de branche d’au moins 20 × 1,25 = 25 A. On choisit le calibre normalisé immédiatement supérieur, soit 30 A, si les conditions de démarrage l’exigent.

Capacité de transport de courant des conducteurs

La capacité de transport de courant (ampacité) dépend de la section, du matériau (cuivre ou aluminium), de la température ambiante, du nombre de conducteurs groupés et du type d’isolation. Les tableaux du CEC (tableaux 1 à 4) fournissent ces valeurs. Les facteurs de correction pour la température et le groupement sont donnés dans les tableaux 5A à 5D et 5E à 5H.

Règle 4-004 : Les conducteurs doivent être protégés contre les surintensités conformément à leur ampacité, sauf exceptions spécifiques (par exemple, les circuits de moteurs avec protection contre les surcharges).

Analyse de circuits pratiques

Méthode de résolution pas à pas

Pour résoudre un problème de circuit complexe à l’examen :

104.Identifiez le type de circuit (série, parallèle, mixte, triphasé).

105.Déterminez les grandeurs connues et inconnues.

106.Choisissez la formule appropriée.

107.Convertissez toutes les unités dans le système SI.

108.Effectuez les calculs avec une précision de trois chiffres significatifs.

109.Vérifiez la cohérence des résultats (ordre de grandeur, unités).

Utilisation des phaseurs

En CA, les tensions et courants sont des phaseurs. Pour additionner des courants dans un circuit parallèle, il faut tenir compte des déphasages. La méthode graphique (diagramme de Fresnel) est souvent plus intuitive que le calcul complexe. Pour l’examen, maîtrisez la conversion entre formes polaire et rectangulaire.

Exemple : Deux charges en parallèle : charge 1 : 10 A à FP 0,8 inductif ; charge 2 : 5 A à FP 0,9 capacitif. Le courant total est la somme vectorielle. Charge 1 : I₁ = 10∠36,87° (car cos φ = 0,8, φ = 36,87°). Charge 2 : I₂ = 5∠-25,84° (car cos φ = 0,9, φ = -25,84°). En coordonnées rectangulaires : I₁ = 8 + j6, I₂ = 4,5 - j2,18. Total : I = 12,5 + j3,82. Le courant total est I = √(12,5² + 3,82²) ≈ 13,1 A, avec un angle φ = arctan(3,82/12,5) ≈ 17° (inductif).

Pièges à éviter

Confondre tension phase-neutre et phase-phase : Dans un système triphasé, la tension phase-phase est √3 fois plus grande que la tension phase-neutre. Une erreur ici fausse tous les calculs de puissance.

Oublier le facteur √3 dans les calculs triphasés : La puissance triphasée est √3 × U × I × cos φ, et non U × I × cos φ.

Utiliser la valeur de crête au lieu de la valeur efficace : Les calculs de puissance et de chute de tension utilisent toujours les valeurs efficaces, sauf indication contraire.

Négliger la correction de température : L’ampacité des conducteurs diminue à haute température. Ne pas appliquer les facteurs de correction du CEC conduit à des conducteurs sous-dimensionnés.

Confondre puissance active et apparente : Le courant est calculé à partir de la puissance apparente, pas de la puissance active. Un moteur de 10 kW à FP 0,7 ne consomme pas 10 kVA, mais 14,3 kVA.

Oublier la règle du 125 % : Les conducteurs et les protecteurs des circuits de moteurs doivent être dimensionnés à 125 % du courant nominal, pas à 100 %.

Arrondir trop tôt : Effectuez les calculs avec une précision suffisante (au moins trois chiffres significatifs) et n’arrondissez qu’à la fin.

Ignorer les unités : Vérifiez toujours que les unités sont cohérentes. Par exemple, la capacitance est en farads, pas en microfarads, dans les formules.

Conseils pour l’examen

Mémorisez les constantes : √2 ≈ 1,414, √3 ≈ 1,732, 1/√3 ≈ 0,577, π ≈ 3,1416.

Apprenez les tableaux du CEC : Les tableaux de courant admissible et les facteurs de correction sont fournis avec l’examen, mais vous devez savoir comment les utiliser rapidement.

Pratiquez la conversion d’unités : Les questions mélangent souvent les kW, les kVA, les hp (chevaux-vapeur). Rappelez-vous que 1 hp = 746 W.

Vérifiez la cohérence des réponses : Un courant de 500 A pour un moteur de 10 kW est évidemment faux. Utilisez votre jugement pour détecter les erreurs grossières.

Gérez votre temps : Les questions de calcul valent souvent plus de points. Ne restez pas bloqué sur une question difficile ; passez et revenez plus tard.

Résumé

La loi d’Ohm (U = R × I) et les lois de Kirchhoff sont les fondements de l’analyse des circuits.

En CA, distinguez les valeurs efficaces, de crête et moyennes. Utilisez toujours les valeurs efficaces pour les calculs de puissance.

L’impédance combine résistance et réactances : Z = √(R² + (X_L - X_C)²).

Les trois puissances en CA sont liées par S² = P² + Q², avec FP = P/S = cos φ.

En triphasé, les relations entre tensions et courants dépendent de la configuration (étoile ou triangle). La puissance est P = √3 × U_LL × I_L × cos φ.

La correction du facteur de puissance utilise des condensateurs en parallèle : Q_C = P × (tan φ₁ - tan φ₂).

La chute de tension ne doit pas dépasser 3 % pour les circuits d’utilisation et 5 % au total, selon le CEC, Chapitre V.

Les protecteurs de circuit de branche pour moteurs sont dimensionnés à 125 % du courant de pleine charge (règle 28-200).

Les conducteurs doivent être dimensionnés selon leur ampacité, avec les facteurs de correction du CEC pour la température et le groupement.

Références normatives

Code canadien de l’électricité, Chapitre V : Règles 4-004 (protection des conducteurs), 8-200 (chute de tension), 28-200 (protection des moteurs).

CSA C22.1 : Code canadien de l’électricité, Première partie (installation).

CSA C22.2 : Normes pour les équipements électriques industriels.

La maîtrise de ces concepts et calculs vous permettra non seulement de réussir l’examen, mais aussi d’exercer votre métier avec compétence et sécurité. Entraînez-vous régulièrement avec des exercices variés, en chronométrant vos sessions, pour développer la rapidité et la précision nécessaires le jour de l’examen.

Théorie électrique et calculs